各形状のコンダクタンス計算式

異なる形状の配管やダクトでは、異なるコンダクタンス計算式が使用されます。この記事では計算ツールに実装されている式の体系を、適用条件とあわせて整理します。

層流（粘性流）— Kn < 0.01

層流領域では、流体力学の古典式（Hagen-Poiseuille 系）が適用されます。共通する特徴はコンダクタンスが平均圧力 $\bar{P}$ に比例することです。

円管

$C = \frac{\pi d^4}{128 \, \eta \, l} \bar{P}$

ここで：

$d$ ：管の内径、 $l$ ：管の長さ
$\bar{P} = (P_1 + P_2)/2$ ：平均圧力
$\eta$ ：気体の粘性係数 [Pa·s]（ガス物性の記事参照）

直径の4乗に比例する点が重要です。粗引き配管の径を半分にすると、流れやすさは 1/16 になります。

適用条件：層流（Re < 2000）かつ十分長い管。式が $P_1 - P_2$ でなく $\bar{P}$ を含むのは、気体が圧縮性流体だからです。

その他の断面

層流では、楕円・正方形・長方形・正三角形断面、狭いスリット、リングスリット（半径方向流れ）などに対して、それぞれ断面形状に応じた係数を持つ式が知られています。長方形断面ではアスペクト比に依存する補正係数 K が入ります（計算ツールでは自動推定またはマニュアル入力が可能です）。

分子流（Knudsen）— Kn > 10

分子流領域では、分子と壁の衝突だけが流れを決めます。コンダクタンスは圧力に依存せず、ガスの平均熱速度 $\bar{v} \propto \sqrt{T/M}$ に比例します。

円管（長管）

$C = \frac{\pi}{12} \bar{v} \frac{d^3}{l}$

N₂・室温の実用形では $C \approx 12.1\, d^3/l$ [L/s]（d, l は cm）。層流の $d^4$ と違い、 $d^3$ に比例します。

短い管の扱い

上式は長い管（l/d ≳ 10）の近似です。短い管では入口開口の抵抗が無視できないため、開口のコンダクタンス（コンダクタンスとは参照）と管部分を直列合成した形で評価します。l/d = 1 程度の短管では、長管式だけで計算すると数倍の過大評価になることもあります。

環状管（同心・偏心）

外径 $D_2$ ・内径 $D_1$ の環状断面では、基準式に補正係数を掛けます：

$C = C_0 \times K$

補正係数は径比 $D_1/D_2$ と偏心量によって変わり、偏心するほどコンダクタンスは増加します。設計上の注意点は環状管・矩形ダクトの記事を参照してください。

矩形ダクト・その他

長方形断面では辺長比に依存する補正係数 K が入ります。同じ断面積なら正方形が最も流れやすく、扁平になるほど不利です。このほかテーパー円管、楕円・正三角形断面、狭いスリットなどの式が整備されています。

Smoluchowski の分子流モデル

Knudsen の式と並んで、Smoluchowski による分子流の理論式の体系があります。円管・楕円断面・同心円環管・長方形断面・スリットなどに対して式が与えられており、形状によっては Knudsen 系の式と数％〜数十％の差が出ます。計算ツールでは両モデルを切り替えて比較できるので、境界的な形状では両方で計算して差を把握しておくと安心です。

中間流（遷移流）はどう扱うか

0.01 < Kn < 10 の中間流には厳密な解析解がなく、実務では Knudsen の補間式（層流成分と分子流成分を圧力の関数で滑らかにつなぐ形）が広く使われます。おおまかには：

$C_{transition} \approx C_{viscous}(\bar{P}) + Z \cdot C_{molecular}$

（Z は圧力に依存する 0.8〜1 程度の係数）

一次評価としては「層流式と分子流式の両方で計算し、大きい方を採用する」だけでも大きくは外しません。中間流のコンダクタンスは常にこの2つの間に収まるからです。

式の選び方まとめ

使用圧力域からクヌッセン数を計算し、流域を判定する（流れの種類）
形状に対応する式を選ぶ（円管 / 環状管 / 矩形…）
分子流なら短管補正の要否（l/d）を確認する
ガス種・温度の物性を設定する（ガス物性）

計算ツールでは、モデル（層流 / Knudsen 分子流 / Smoluchowski 分子流）と形状を選択すると、対応する式・出典・形状図が表示され、入力値から自動的に計算されます。具体的な数値の感覚は計算例の記事でつかんでください。